Formes Omnisectrices c’est-à-dire qu’il est possible de les découper en n’importe quel nombre de parts de même taille et de même forme

 

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https://www.lemonde.fr/sciences/article/2025/09/13/le-quatre-quarts-l-enigme-maths-du-monde-n-68_6640816_1650684.html

On se déplaçait de loin pour goûter aux fameux gâteaux de la pâtisserie Le Quatre-Quarts. Sur sa devanture, on pouvait lire en larges lettres dorées « Un bon gâteau est un gâteau qui se partage » et ces mots étaient bien plus qu’une devise : il s’agissait d’une contrainte géométrique. On pouvait en effet y acheter toutes sortes de gâteaux aux formes plus ou moins étranges, mais qui toutes avaient la propriété suivante : elles étaient omnisectrices, c’est-à-dire qu’il était possible de les découper en n’importe quel nombre de parts de même taille et de même forme. Ainsi, si vous achetiez un gâteau sans savoir précisément le nombre d’invités entre lesquels il allait falloir le partager, vous ne pouviez pas vous tromper !

Bien sûr, on pouvait trouver dans ses vitrines de traditionnelles tartes rondes, partageables à volonté en parts triangulaires (figure A) ou des entremets rectangulaires pouvant être coupés en autant de tranches parallèles que nécessaire (figure B). Mais on pouvait aussi y observer des formes plus étranges, dont l’omnisectricité était loin d’être évidente.

Sauriez-vous découper les gâteaux illustrés par les figures C et D en deux, trois, quatre ou davantage de parts égales (en forme et en taille) ?

Un jour, le chef pâtissier se demanda s’il pouvait proposer un gâteau en forme de triangle équilatéral. Après quelques recherches, il trouva le moyen de le couper en deux, trois ou quatre parts égales, mais ne parvint pas à trancher totalement la question pour n’importe quel nombre de parts. Il contacta alors une géomètre experte de la question. La réponse de cette dernière le laissa pourtant dans un embarras encore plus grand.

Sauriez-vous deviner pourquoi ?

Sauriez-vous deviner pourquoi ?

Indice

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Les figures A et B montrent comment couper en quatre parts les deux gâteaux en vitrine du Quatre-Quarts. En rajoutant des coupes selon le même motif, ces découpages se généralisent pour n’importe quel nombre de parts.

Concernant la possibilité de proposer un gâteau en forme de triangle équilatéral, le chef pâtissier aura sans doute été surpris par la réponse de l’experte : il s’agit d’un problème ouvert, c’est-à-dire que la recherche actuelle n’est pas encore parvenue à trancher la question. On peut facilement découper un triangle équilatéral en deux, trois ou quatre parts de même forme et de même taille, comme montré sur la figure C. Il est également possible de le couper en cinq parts, comme illustré sur le dernier exemple qui fut découvert en 2016 par le chercheur Mikhail Patrakeev. Ce dernier découpage ne peut sans doute pas être considéré comme satisfaisant pour la découpe d’un gâteau, puisque ses parts ne sont pas connexes (c’est-à-dire qu’elles ne sont pas en un seul morceau), sa complexité permet toutefois de sentir pourquoi il est si difficile de trancher la question dans le cas général d’un découpage en un nombre arbitraire de parts.